Công cụ số và tư duy toán học: Động lực thúc đẩy chuyển đổi số trong giáo dục

Từ công cụ bên ngoài đến đối tác nhận thức: Bước ngoặt của giáo dục toán học

Lý thuyết công cụ bên ngoài và bên trong của Vygotsky và Luria từ lâu đã đặt nền tảng cho cách hiểu về sự hình thành tư duy: trẻ em ban đầu dựa vào các đối tượng vật chất xung quanh, sau đó chuyển sang sử dụng ký hiệu để kiểm soát suy nghĩ của mình (Vygotsky & Luria, 1994). Trong môi trường số, các phần mềm, bảng tính và hệ thống tính toán đã mở rộng vai trò này: chúng không chỉ là phương tiện thao tác mà còn tham gia cấu trúc hóa quá trình tư duy, trở thành một phần của “kiến trúc nhận thức” người học (Leont’ev, 1983).

Papert (1980) đã nhấn mạnh rằng khi trẻ được trao quyền sáng tạo trong môi trường kỹ thuật số, chúng có thể “xây dựng những hiện vật mang ý nghĩa” gắn với bối cảnh văn hóa, xã hội của mình. Từ những ý tưởng kiến tạo này, nhiều khung lý thuyết hiện đại như học tập kiến tạo tình huống (Hung, 2002), kết nối luận (Downes, 2022), thiết kế phổ quát cho học tập (Levey, 2023) đã mở rộng cách hiểu về vai trò của công nghệ. Trong đó, công cụ kỹ thuật số không chỉ hỗ trợ mà còn đồng kiến tạo tư duy — một bước ngoặt quan trọng của giáo dục toán học hiện đại.

Toán học hoá qua trải nghiệm số: Từ thách thức NP đến sáng tạo của học sinh

Một trong những minh chứng sống động cho sự biến đổi này là mô hình học tập kiểu Construct–Test–Explore (CTE), được triển khai trong nhiều cuộc thi quốc tế về toán – tin học. Khác với kiểu dạy truyền thống thiên về lời giải duy nhất, CTE khuyến khích học sinh tiếp cận các bài toán có tính chất NP — khó để tìm lời giải tổng quát nhưng dễ kiểm chứng bằng máy tính. Ở đây, học sinh không chỉ giải bài mà còn chủ động đề xuất chiến lược, kiểm thử bằng mô hình số, điều chỉnh ý tưởng và quan sát hành vi của hệ thống.

Bài toán “Beaver bận rộn” là một ví dụ tiêu biểu. Xuất phát từ khái niệm máy Turing với bảng chữ nhị phân, học sinh từ lớp 1 đến lớp 11 được giao nhiệm vụ thiết kế các thuật toán điều khiển “hải ly” di chuyển dọc theo một dòng sông để đặt càng nhiều “khúc gỗ” càng tốt. Nhiều học sinh nhỏ tuổi đưa ra được chiến lược đặt 5–7 khúc gỗ, trong khi việc lập trình toàn bộ không gian lời giải để đạt được cấu hình tối ưu (13 khúc trong 1000 bước) phải mất nhiều ngày tính toán. Hoạt động này không đơn thuần nhằm luyện kỹ năng, mà đưa học sinh vào trải nghiệm mô hình hoá và tư duy thuật toán tương tự quá trình nghiên cứu, ở cấp độ phù hợp với lứa tuổi.

Tương tự, “Bài toán Chiếc đồng hồ” yêu cầu học sinh sử dụng bánh răng để chế tạo một chiếc đồng hồ hoặc đồng hồ–lịch sao cho tỉ lệ vận tốc góc giữa kim giờ và kim phút là chính xác. Nhiệm vụ tưởng như kỹ thuật này thực chất là một tình huống toán học giàu tiềm năng: học sinh phải vận dụng kiến thức về tỉ lệ, phân số, hình dung cấu trúc bánh răng, và đưa ra lời giải tối ưu theo nhiều tiêu chí khác nhau (độ chính xác, kích thước, tính thẩm mỹ…). Đây là ví dụ điển hình cho cách toán học hoá nảy sinh tự nhiên từ những trải nghiệm thực tế, khi công cụ số đóng vai trò như một “đồng tác giả” trong tiến trình tư duy.

Mở rộng không gian khái niệm bằng trực giác và công cụ số

Papert (1980) từng kể rằng trải nghiệm tuổi thơ với bánh răng vi sai đã giúp ông hiểu một cách trực giác phương trình Diophant hai biến 3x + 4y = 10. Bằng bảng tính điện tử và phần mềm đồ thị, học sinh có thể nhận ra các quy luật chia hết, đối xứng, lời giải lặp và bản chất của các phương trình này mà không cần lập tức sử dụng ngôn ngữ hình thức. Những hoạt động như vậy mở ra không gian khái niệm phong phú, trong đó trực giác và công cụ số hỗ trợ lẫn nhau.

Cách tiếp cận này tương thích với mô hình “Multiple Solution Tasks” (Leikin, 2009), nơi học sinh được khuyến khích tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán, từ đó phát triển năng lực sáng tạo và hiểu sâu cấu trúc toán học. Đồng thời, nó cũng thể hiện đúng tinh thần mà Pollak (1968) đã nêu: dạy ứng dụng toán học không chỉ là giải bài, mà là dạy cách suy nghĩ về tình huống.

Từ giải bài sang đặt bài: Thay đổi vị thế người học trong kỷ nguyên AI

Sự phổ biến của các công cụ giải toán tự động như Wolfram Alpha, Universal Mathematical Solver và các hệ thống AI hiện nay đặt ra thách thức đối với mô hình dạy học truyền thống. Nếu vẫn giữ cách dạy “thầy ra đề – trò giải”, người học dễ trở thành “khán giả” hơn là người kiến tạo tri thức. Vì vậy, một số xu hướng mới nhấn mạnh chuyển đổi sang mô hình học sinh vừa là người đặt bài, vừa là người giải, còn công cụ số đóng vai trò kiểm chứng và hỗ trợ (Abramovich, 2014).

Mô hình bài toán TITE (Technology-Immune/Technology-Enabled) minh họa rõ sự cân bằng này. Phần “miễn nhiễm” yêu cầu người học phát triển tư duy, xây dựng thuật toán hoặc khung khái niệm; phần “kích hoạt” tận dụng công cụ số để kiểm chứng, mô phỏng, mở rộng hoặc phát hiện lỗi. Qua đó, học sinh không phụ thuộc vào máy móc mà biết cách sử dụng công cụ như một phương tiện nâng cao năng lực trí tuệ.

Hệ thống Wise Tasks: Làm chủ môi trường toán học số

Một bước tiến thú vị là sự ra đời của hệ thống Wise Tasks cho hình học, tổ hợp và lý thuyết đồ thị. Đây là môi trường số cho phép học sinh mô tả bài toán bằng ngôn ngữ hình thức, sau đó hệ thống tự động kiểm chứng lời giải bằng thuật toán phù hợp. Ví dụ, với Wise Tasks Geometry, giáo viên có thể mô tả hình vuông bằng quan hệ song song, vuông góc, thuộc… Học sinh thực hiện bằng GeoGebra, hệ thống đối chiếu từng bước với các mệnh đề hình thức.

Điểm đặc sắc là học sinh không bị “dẫn dắt” mà trở thành người kiến tạo và kiểm thử trong một không gian toán học có quy tắc rõ ràng. Trí tuệ con người và trí tuệ máy không cạnh tranh mà hỗ trợ lẫn nhau, tạo ra môi trường học tập sâu và linh hoạt.

Trực giác như điểm tựa của tư duy toán học trong thời đại số

Minsky (1986) gọi đây là “nguyên lý đầu tư”: con người tiếp nhận tri thức mới bằng cách kiểm chứng qua những hiểu biết đã có từ sớm. Pozdniakov (2019) minh hoạ điều này qua định lý trọng tâm tam giác: hầu hết học sinh biết mệnh đề nhưng ít em giải thích được, trong khi trực giác về “trung tâm trọng lực” lại dẫn các em đến lập luận tự nhiên. Công cụ như GeoGebra cho phép kiểm chứng trực quan, củng cố lập luận này.

DiSessa (2013) gọi đây là “tri thức mảnh” (knowledge in pieces) — những đơn vị hiểu biết nhỏ được kích hoạt trong tình huống cụ thể. Khi được kết nối với mô hình số, chúng tạo thành một hệ tư duy linh hoạt, kết hợp nhuần nhuyễn giữa cảm tính và lý tính.

Khuyến nghị cho giáo dục Việt Nam: Chính sách làm nền cho chuyển đổi số

Những định hướng quốc tế nói trên mang lại nhiều bài học quý cho Việt Nam trong bối cảnh thực hiện các chủ trương lớn của Đảng và Nhà nước về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đẩy mạnh chuyển đổi số. Nghị quyết số 71-NQ/TW ngày 22/8/2025 của Bộ Chính trị đã xác định giáo dục – đào tạo là một trong ba đột phá chiến lược, trong đó chuyển đổi số giữ vai trò then chốt để hiện đại hóa phương thức giáo dục. Trước đó, Nghị quyết số 57-NQ/TW (2024) cũng đã nhấn mạnh phát triển khoa học – công nghệ và đổi mới sáng tạo là động lực tăng trưởng. Các định hướng này được cụ thể hóa qua Chương trình GDPT 2018, Chiến lược chuyển đổi số ngành giáo dục (Quyết định 131/QĐ-TTg năm 2022), và các chương trình đào tạo giáo viên giai đoạn 2025–2030.

Thứ nhất, cần chuyển đổi mô hình dạy học toán từ tiếp cận truyền thụ sang tiếp cận kiến tạo – tương tác. Học sinh cần được đặt vào trung tâm của quá trình học tập, được khuyến khích đặt vấn đề, mô hình hóa và kiểm chứng bằng công cụ số. Những mô hình như “bài toán mở”, “nhiều lời giải” hay các cuộc thi kiểu CTE có thể triển khai ở cấp địa phương, gắn với nội dung trong chương trình GDPT 2018, nhằm phát triển năng lực toán học thực tiễn.

Thứ hai, chính sách đào tạo và bồi dưỡng giáo viên cần chú trọng phát triển năng lực sư phạm số. Giáo viên không chỉ thành thạo sử dụng công cụ (GeoGebra, bảng tính, AI hỗ trợ…) mà còn phải biết tích hợp công nghệ vào quá trình kiến tạo tri thức, tổ chức hoạt động học tập theo mô hình TITE (Technology-Immune/Technology-Enabled), khơi gợi tư duy độc lập và sáng tạo.

Thứ ba, cơ chế đánh giá cần được đổi mới theo hướng năng lực, coi trọng quá trình tư duy và khả năng mô hình hóa, thay vì chỉ kiểm tra kết quả cuối cùng. Các hình thức đánh giá linh hoạt như thiết kế tình huống, mô phỏng, trình bày lời giải đa dạng cần được khuyến khích và chuẩn hóa.

Cuối cùng, các chính sách đầu tư phải bảo đảm công bằng số, thu hẹp khoảng cách vùng miền. Việc phát triển các nền tảng mở, tài nguyên số dùng chung và hỗ trợ hạ tầng tối thiểu cho các trường vùng khó khăn là điều kiện tiên quyết để chuyển đổi số không chỉ diễn ra ở đô thị mà lan tỏa tới mọi đối tượng học sinh.

Trong bối cảnh chuyển đổi số giáo dục đang trở thành chiến lược quốc gia, việc khai thác công cụ số như một “đối tác tư duy” mở ra hướng đi mới cho dạy và học toán ở Việt Nam. Sự kết hợp giữa công nghệ, trực giác và các tình huống thực tiễn không chỉ làm phong phú phương pháp giảng dạy mà còn tạo điều kiện hình thành năng lực tư duy sâu, sáng tạo và mô hình hoá ở người học.

Đây không chỉ là đổi mới kỹ thuật dạy học, mà là một thay đổi căn bản về triết lý giáo dục: từ truyền thụ sang kiến tạo, từ một chiều sang tương tác, từ người dạy trung tâm sang học sinh chủ thể. Nếu được triển khai đồng bộ về chính sách, hạ tầng, chương trình và đội ngũ, đây sẽ là một trong những động lực then chốt đưa giáo dục Việt Nam tiến nhanh trên hành trình chuyển đổi số toàn diện, hiện đại và hội nhập quốc tế.

Vân An

Tài liệu tham khảo

Abramovich, S. (2014). Revisiting mathematical problem solving and posing in the digital era: Toward pedagogically sound uses of modern technology. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 45(7), 1034–1052. https://doi.org/10.1080/0020739X.2014.902134

DiSessa, A. A. (2013). Bird’s Eye Conceptual Change. In International Handbook of Research on Conceptual Change (2nd ed.). Routledge.

Downes, S. (2022). Connectivism. Asian Journal of Distance Education, 17(1), 58–87.

Harel, I. E., & Papert, S. (1991). Constructionism. Ablex Publishing.

Hung, D. (2002). Situated cognition and problem-based learning: Implications for learning and instruction with technology. Journal of Interactive Learning Research, 13(4), 393–414.

Leikin, R. (2009). Exploring mathematical creativity using multiple solution tasks. In R. Leikin, A. Berman & B. Koichu (Eds.), Creativity in Mathematics and the Education of Gifted Students (pp. 129–145). Sense Publishers.

Leont’ev, A. N. (1983). Deyatelnost, Soznanie i Lichnost [Activity, Consciousness, and Personality]. Pedagogika.

Levey, S. (2023). Universal design for learning. Journal of Education, 203(3), 479–487. https://doi.org/10.1177/00220574211031954

Minsky, M. (1986). The Society of Mind. Simon and Schuster.

Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas. Basic Books.

Pollak, H. (1968). On some of the problems of teaching applications of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 1(1), 24–30.

Pozdniakov, S. (2019). Technology and Psychology for Mathematics Education. SU HSE Publishing House.

Vygotsky, L., & Luria, R. (1994). Tool and Symbol in Child Development. In R. van der Veer & J. Valsiner (Eds.), The Vygotsky Reader (pp. 99–174). Wiley-Blackwell.